探索 SSA

      由於SSS、SAS、ASA、AAS尺規作圖三角形的唯一性,透過這類實際操作,確實讓學生輕易瞭解全等三角形。但是對於初學尺規作圖者實不宜將SSA納入教材,因為它不具備作圖的唯一性,突增了學習困擾。要引起學生學習興趣,需要老師用心構思;但要毀掉學生的數學信心,往往一個不當的佈題就造成了。

      近日,網站裡多了許多小朋友的來信,都是關於SSA。其實,我在教學現場也面臨這個問題,而我選擇在課堂中"避開"。但是鼓勵極少數有興趣的同學下課進行討論或者上我的網站參閱此篇說明。

其實給定兩線段與一角,是否可以SSA作唯一的△圖,需視A而定。

(1)、如果A是直角,SSA作圖就是RHS作圖。

(2)、如果A是銳角,視察下例就可知SSA不是△的唯一作圖法。

 

 

 

 

          △ADB與△ADC中,,∠D=∠D。顯然此例的△ADB與△ADC不全等。

(3)、如果A是鈍角,SSA作圖是可以作出唯一的△。

        我採用反證法,可是大多數國中生不會容易了解,讀者如果有更適當的方法,歡迎來信分享
        

        上圖,△ABC與△FGH,已知,∠A=∠F > 90∘。
        假設    △ABC與△FGH  不全等,可令∠C >  ∠H 並不失ㄧ般性。

        取 ∠ACP=∠H,則△ACP△FGH (ASA)
      
        因此 ...(1)。
        已知.....(2),由(1)、(2)可知,由此可知△CPB是等腰△,因此∠CPB=∠CBP。
        因為∠CPB是△ACP的外角,所以∠CPB > ∠A,∠CBP> ∠A > 90∘。
       
        我們都知道三角形的內角和是180∘,而上面論述△ABC有兩個內角∠CBP、∠A是鈍角,這是不可能的。

        這個錯誤的結果導因自錯誤的假設,既然 「△ABC與△FGH  不全等」的假設錯誤,那麼「△ABC與△FGH 全等」的敘述是正確的,故得證。
   

     

      


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