判定19的倍數

20=19+1
202=(19+1)2=192+2191+12=19(19+1)+1

203=(19+1)3=193+31921+31912+13=19(192+319+3)+1

所以
20除以19餘1,202除以19餘1,203除以19餘1
(以下計算器提供你迅速掌握(x+1)n展開式的各項係數)

請輸入(x+1)n的次數 n=


 (x+1)n的各項係數 :


運用二項式定理或透過帕斯卡三角形,可以知道 20n=(19+1)n=19A+1,所以20n除以19餘1
就一個六位數abcdef來討論如何判斷是否為19的倍數?
如果N=a105+b104+c103+d102+e10+f,則
A=25N=25(a105+b104+c103+d102+e10+f)=
a205+21b204+22c203+23d202+24e201+25f.......(1)
因為A≣a+2b+22c+23d+24e+25f(mod 19),
只要a+2b+22c+23d+24e+25f被19整除,N就是19的倍數。

舉125153為例
a=1,b=2,c=5,d=1,e=5,f=3,

a+2b+22c+23d+24e+25f=1+22+45+81+165+323=209,209除以19得商11,餘0,所以125153是19的倍數。